Psicología Online PIR Estadística Índices de tendencia central

Psicología Experimental: Índices de tendencia central, de variabilidad y asimetría

Índices de tendencia central

La moda

Estadístico de tendencia central, único que se puede utilizar en variables cualitativas. Se calcula a partir de una tabla de frecuencias absolutas. La moda es igual a la variable que ocurre con mayor frecuencia.

Puede haber una moda (Distribución Unimodal), dos (Dist. Bimodal), tres o incluso más modas (Dist. Multimodal).

Cuando todas las variables tienen frecuencia máximo se dice que la variable tiene una Distribución Uniforme.

Pueden distinguirse algunos casos:

Caso 1: Datos no agrupados. Uno de los valores es más frecuente que los otros

7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 11, 11

es el caso más simple. El valor 10 es la moda. Mo = 10.

Caso 2: Datos no agrupados. Distribución uniforme de valores.

9,9,9,10,10,10,12,12,12,15,15,15

Cuando todos los valores tienen la misma frecuencia se dice que la distribución es amodal.

Caso 3: Datos no agrupados. Dos valores tienen la misma frecuencia.

9,9,11,11,11,12,12,13,14,14,14,15,15

Cuando dos valores no adyacentes tienen la misma frecuencia la distribución es bimodal.

Caso 4: Datos agrupados.

Si los datos están agrupados en intervalos, la moda de la distribución está representada por el punto medio del intervalo con mayor frecuencia absoluta.

Propiedades de la Moda
  • 1. En una distribución de frecuencias de variables agrupadas en intervalos, la moda es función de los intervalos elegidos (amplitud del intervalo, número de intervalos y límites de los mismos).
  • 2. En distribuciones abiertas de variables agrupadas en intervalos (intervalo superior sin límite superior o intervalo inferior sin límite inferior), la moda puede ser calculada siempre que la frecuencia máxima no pertenezca a alguno de los intervalos abiertos.
La mediana

Es el valor númerico o puntuación que deja por encima y por debajo de sí el 50 por ciento de las observaciones, y se suele representar por Md o Mdn.

Para poder calcular la mediana es preciso que los datos y observaciones estén en orden de magnitud (habitualmente se sigue un orden ascendente, de menor a mayor).

Cálculo

- Datos agrupados en intervalos

Para el cálculo de la mediana en distribuciones de frecuencia de datos agrupados en intervalos se asume que, dentro del intervalo, las puntuaciones se distribuyen de forma homogénea.

X ni pi na pa
20-24 6 0,04 6 0,04
25-29 15 0,11 21 0,14
30-34 30 0,20 51 0,34
35-39 33 0,22 84 0,56
40-44 24 0,16 108 0,72
45-49 15 0,10 123 0,82
50-54 12 0,08 135 0,90
55-59 12 0,08 147 0,98
60-64 3 0,02 150 1,00
150 1,00

Con una simple inspección visual de los datos de la tabla, se detecta que la puntuación que represente a la mediana ha de estar en el intervalo 35-39.

Al intervalo que contiene la puntuación mediana de una distribución se le denomina intervalo crítico.

Según los valores de las frecuencias relativas acumuladas (pa), hasta el límite superior de dicho intervalo se encuentra el 56 por ciento de las observaciones.

El método seguido para obtener la mediana se conoce como método de interpolación.

- Datos no agrupados en intervalos

El cálculo de la mediana cuando los datos no están agrupados en intervalos es un caso particular del cálculo para daots agrupados, en que I=1 y nd=1 o nd=k, según que exista una sola observación o k observaciones.

Pueden darse dos casos:

A. Número impar de observaciones.

Caso 1: la puntuación central es única, distinta a todas las demás puntuaciones.

8,8,9,10,13,14,15,16,17

Para obtener el orden del valor central se suma uno al total de casos y el resultado se divide por dos [(n+1)/2].

Caso 2: la puntuación que ocupa el centro es igual a otras puntuaciones.

12,13,15,19,19,19,19,20,21,22

La puntuación que ocupa el lugar central [(11+1)/2=6] es 19, igual a otras puntuaciones.

B. Número par de observaciones (dos observaciones ocupan los lugares centrales)

Caso 1: las dos puntuaciones centrales son distintas enre sí y son valores consecutivas.

7,8,9,9,10,11,12,12,13,14

En este caso la mediana es el punto medio de los dos intervalos unitarios, 9,5-10,5 y 10,5-11,5. Es decir,

Md = (9,5+11,5)/2=10,5

Caso 2: las dos puntuaciones centrales son iguales entre sí y distintas a todas las demás.

5,5,7,8,10,10,12,13,15,16

Las dos puntuaciones centrales (órdenes 5 y 6) son iguales a 10.

Propiedades de la mediana
  • 1. La suma de las diferencias, en valor absoluto, de cada puntuación respecto a la mediana es menor que respecto a cualquier otro valor. En efecto, sean los valores: 5,7,9,11,15. La mediana de estos valores es 9, y la suma de las diferencias absolutas de cada valor respecto al valor de la mediana es:
  • 2. La mediana es un índice poco sensible a la variación de las puntuaciones más extremas de la distribución.
  • 3. La mediana puede ser calculada aunque los intervalos superior o inferior no tengan límite superior o inferior, respectivamente. Sin embargo, cuando algunos de estos intervalos contenga más del 50 por ciento de las observaciones, no es posible calcular la mediana, dado que se desconoce la amplitud del intervalo.
  • 4. La mediana es un punto tal, que la vertical levantada sobre el mismo divide el área total del histograma de frecuencias en dos áreas con idéntica superficie.
  • 5. Dados r grupos con medianas Md1, Md2, ., Mdr, la mediana del grupo total es igual o mayor que la mediana mínima e igual o menor que la mediana máxima.
La media

Es la suma de todas las puntuaciones de la distribución, dividida por el total de casos u observaciones. En efecto, sean n objetos o personas a los que se ha medido de acuerdo a una característica, X, obteniéndose las puntuaciones X1, X2, ., Xn.

El procedimiento de cálculo de la media aritmética para datos agrupados puede resumirse en la siguiente fórmula:

Propiedades de la media aritmética
  • 1. La suma de las diferencias de n puntuaciones X1, X2, ., Xn respecto a la media vale cero.
  • 2. La suma de las diferencias al cuadrado de n puntuaciones respecto a su media es menor que respecto a cualquier otro valor distinto a la media.Si a cada valor o puntuación de una distribución se le suma una constante, la media de las nuevas puntuaciones es igual a la media de las originales más la constante.
  • 3. Si se multiplica un conjunto de puntuaciones por una constante, la media aritmética de las nuevas puntuaciones es igual a la media de las puntuaciones originales multiplicada por esa constante.
  • 4. Combinando las propiedades 3 y 4, se puede afirmar que si a un conjunto de puntuaciones se le multiplica por una constante b y se le suma una constante a, la media de las nuevas puntuaciones es igual a la media de las puntuaciones originales multiplicada por la constante b más la constante a.
  • 5. Dados r grupos con n1, n2, ., nr puntuaciones, respectivamente, y con medias , la media de las n1+n2+.+nr=n puntuaciones
  • 6. En distribuciones de frecuencia en las que intervalo superior no tenga límite superior o en las que el intervalo inferior no tenga límite inferior, la media no puede ser calculada. En efecto, para el cálculo de la media con datos agrupados en intervalos se asume que en el punto medio de cada intervalo se concentran todas las puntuaciones que lo componen. Cuando un intervalo está abierto, no es posible obtener el punto medio, dado que falta alguno de los límites (superior o inferior, según cual sea el intervalo abierto).

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